Clifford Algebra and SO(2n) representations

[ math  physics  ]

Published April 08, 2020


Spinor Representations

Clifford Algebra

Comenzamos asegurando la existencia de \(2n\) matrices hermíticas \(\gamma_i\) con \(i=1,2,\cdots,2n\) que satisfacen:

\[{\gamma_i,\gamma_j}=2\delta_{ij}I\]

Estas matrices componen el Álgebra de Clifford .

Esto se puede probar por inducción:

  1. Para el caso \(n=1\), se puede considerar las dos de las tres matrices de Pauli \(\sigma_i\).

  2. Para el caso \(n=2\), necesitamos pensar en dos matrices más. Podemos pensar en el producto directo de estas matrices.

    \[\gamma_1=\sigma_1\otimes \sigma_3,\gamma_2=\sigma_2\otimes\sigma_3,\gamma_3=I\otimes\sigma_1,\gamma_4=I\otimes\sigma_2\]

    Podemos comprobar que estas matrices satisfacen la condición del álgebra, por ejemplo:

    \[\gamma_3\gamma_3=(I\otimes\sigma_1)(I\otimes\sigma_1)=I_{4\times 4}\]

Estas \(2n\) matrices serán llamadas matrices \(\gamma\) de SO(2n). Ahora podemos inducir para un \(n\) general.

Suponga \(\gamma_j^{(n)}\) son las \(2n\) matrices de \(SO(2n)\) , entonces podemos construir \(2(n+1)\) matrices para \(SO(2n+2)\) como sigue:

\[\gamma_j^{(n+1)} = \gamma_j^{(n)}\otimes \sigma_3 \\ \gamma_{2n+1}^{(n+1)}=I\otimes \sigma_1 \\ \gamma_{2n+2}^{(n+1)}=I\otimes \sigma_2\]

Cada vez que aumentamos la dimensión \(n\) en 1, se agregan dos matrices \(\gamma\) con el doble de tamaño. Entonces, hay \(2n\) matrices \(\gamma^{(n)}\) que tienen dimensión \(2^n\times 2^n\).

Estas matrices se pueden escribir de forma más compacta como

\[\gamma_{2k-1}=\underbrace{I\otimes I\otimes\cdots\otimes I}_{k-1}\otimes\sigma_1\otimes\underbrace{\sigma_3\otimes\sigma_3\otimes\cdots\otimes\sigma_3}_{n-k} \\ \gamma_{2k} = \underbrace{I\otimes I\otimes\cdots\otimes I}_{k-1}\otimes\sigma_2\otimes\underbrace{\sigma_3\otimes\sigma_3\otimes\cdots\otimes\sigma_3}_{n-k}\]

Tomemos el caso de \(SO(4)\), entonces debemos tener 4 matrices \(\gamma\) .

Con la fórmula anterior se tiene:

\[\gamma_1=\sigma_1\otimes\sigma_3=\left(\begin{matrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & -\sigma_1 \end{matrix}\right) \\ \gamma_2 =\sigma_2\otimes\sigma_3=\left(\begin{matrix} \sigma_2 & 0 \\ 0 & -\sigma_2 \end{matrix}\right) \\ \gamma_3=I\otimes\sigma_1=\left(\begin{matrix} 0 & I \\ I & 0\end{matrix}\right) \\ \gamma_4 = I\otimes\sigma_2 = \left(\begin{matrix} 0 & -iI \\ iI & 0\end{matrix}\right)\]

Representando generadores de $ SO(2n)$

¿Cómo la representación antes vista del álgebra de Clifford se relaciona con el grupo de rotaciones \(SO(2n)\)?

Definimos \(\Sigma^{\mu\nu}\) como:

\[\Sigma^{\mu\nu}:=\frac{i}{4}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]\]

Estas matrices satisfacen las siguientes propiedades:

  1. \([\Sigma^{\mu\nu},\gamma^{\rho}]=i(\gamma^\mu g^{\nu\rho}-\gamma^\nu g^{\rho\mu})\).
  2. \([\Sigma^{\mu\nu},\Sigma^{\rho\sigma}]=i(\Sigma^{\mu\sigma}g^{\nu\rho}-\Sigma^{\nu\sigma}g^{\mu\rho}-\Sigma^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}+\Sigma^{\nu\rho}g^{\mu\sigma})\).

Estos son los generadores del algebra de Lie de \(SO(2n)\) . La propiedad dos es característica del Algebra de Lorentz.

Entonces, lo que esperamos es generar los elementos del grupo de Lorentz exponenciando las matrices \(\Sigma^{\mu\nu}\).

\[S[\Lambda]=e^{-\frac i 2 \Omega_{\mu\nu}\Sigma^{\mu\nu}}\]

Donde \(\Omega_{\mu\nu}\) son elementos de una matriz totalmente antisimétrica:

\[\Omega_{\mu\nu}=\left[\begin{matrix} 0 & -\phi_1 & -\phi_2 & -\phi_3 \\ \phi_1 & 0 & -\theta_3 & \theta_2 \\ \phi_2 & \theta_3 & 0 & -\theta_1 \\ \phi_3 & -\theta_2 & \theta_1 & 0 \end{matrix}\right]\]

Este resultado es importante. Los coeficientes \(\phi_1,\phi_2,\phi_3\) no son más que los ángulos asociados a boost de Lorentz en los ejes \(x,y,z\) respectivamente. Mientras que \(\theta_1,\theta_2,\theta_3\) corresponden a rotaciones alrededor de los ejes \(x,y, z\).

Ahora te debes de estar preguntando: ¿Por qué las matrices \(S[\Lambda]\) se relaciona de esa manera con la matriz de Lorentz?

Ya se dio una pista de esta dependencia en la forma como está escrita \(S\). Recordemos como transformaba un spinor de Dirac frente a una transformación de Lorentz:

\[\Psi'(x')=S\Psi(x)\]

Entonces, podíamos escribir la ecuación de Dirac en el sistema primado obteniendo relaciones entre cantidades transformadas. En particular, se obtuvo que :

\[\bar{\gamma}^{\mu}=\gamma^\mu\Omega^\nu_\mu\]

Donde \(\Omega^\nu_\mu\) es la matriz de transformación de Lorentz general. Además, también se obtuvo que matrices en distintos sistemas son equivalentes a menos de una transformación unitaria. Esto también conocido como Teorema de Pauli. Entonces,

\[\bar{\gamma}^\mu=C^{-1}\gamma^\mu C\]

De hecho, se puede demostrar que esa matriz \(C\) puede ser elegida igual a \(S\):

Considere la ecuacion de Dirac: \(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu\Psi=mc\Psi\). Pasamos al sistema primado considerando \(\partial_\mu'=\Omega^\alpha_\mu\partial_\alpha\). Se tiene:

\[i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu'\Psi'=mc\Psi' \\ i\hbar\gamma^\mu\Omega^\alpha_\mu\partial_\alpha(S\Psi)=mcS\Psi = i\hbar S\gamma^\alpha\partial_\alpha\Psi \\\]

Multiplicando a izquierda por \(S^{-1}\):

\[S^{-1}\gamma^\mu S\Omega^\alpha_\mu =\gamma^{\alpha}\]

Pasando la matriz de Lorentz del lado derecho:

\[S^{-1}\gamma^\mu S=\Omega^{\alpha}_\beta \gamma^\beta\]

Renombrando el índice \(\alpha\) como \(\beta\). Por lo tanto, si \(\bar{\gamma}^\mu=S^{-1}\gamma^\mu S\) hacemos \(C=S\). Ya en este punto se puede apreciar como \(S\) contiene elementos de la matriz de Lorentz \(\Omega\) aunque aún no sabemos que forma tiene.