Topological Spaces

[ math  ]

Published May 15, 2020


Definiciones Básicas:

Espacio Topológico

Un espacio topológico, denotado por \((E,\tau)\), es un conjunto \(E\) imbuido de una colección de subconjuntos llamados subconjuntos abiertos \(\tau\) que cumplen estas propiedades:


  1. \(E\in \tau\) y \(\emptyset\in \tau\).
  2. Para \(O_i\in \tau\), \(\cup_i O_i\in \tau\). Las uniones podrían ser incluso infinitas.
  3. \(\cap O_i\in \tau\). Cuidado, solo se permiten las intersecciones finitas.


A \(\tau\) se le denomina la topología de \(E\). Colecciones de subconjuntos distintos definen distintas topologías, pero algunas pueden ser equivalentes.

Pueden haber muchas topologías definidas en un mismo conjunto, pero siempre se tienen dos topologías especiales: la topología trivial \(\tau={E,\emptyset}\) y la topología discreta \(\tau=2^{E}\).

Una de las formas más conocidas de espacios topológicos es dotar a cierto conjunto \(X\) de una métrica.


Definición (Métrica): Una métrica en \(X\) es una función \(d: X\times X\to \R_{\geq 0}\) que verifica :

  1. \(d(x,y)=d(y,x)\) . d es simétrica en sus argumentos.
  2. \[d(x,y)=0\iff x=y\]
  3. \(d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\). Desigualdad triangular.


Veamos como surge una topologia de manera natural al dotar de una métrica a un conjunto. Primero hace falta definir como serán los subconjuntos abiertos.

Decimos que un conjunto \(A\subseteq X\) es \(d\)-abierto si para todo \(x\in A\) existe un \(\epsilon>0\) tal que la bola \(B(x,\epsilon)\subseteq A\).

Ahora, podemos ver que el sistema de conjuntos \(\tau_d=\{A\subseteq X: A \ \text{es d-abierto}\}\) es una topología en \(X\).


Definición(Entornos):  Sea \((X,\tau)\) un espacio topológico y sea \(x\in X\) un punto fijo:

  1. Diremos que \(A\subseteq X\) es un entorno de \(x\) si existe \(U\in \tau\) tal que \(x\in U\subseteq A\). Diremos que \(A\) es un entorno abierto de \(x\) si \(A\in \tau\).

  2. Denotaremos \(O(x)=\{ A\subseteq X: A \ \text{es un entorno de x}\}\) al filtro de entornos de \(x\). Llamaremos \(O^a(x)=\{ A\subseteq O(x): A \ \text{es un entorno abierto de} \ x \}=O(x)\cap\tau\).

  3. Dado \(Y\subseteq X\), denotamos a \(Y^°=\{ x\in Y: Y\in O(x) \}\) como el interior de \(Y\).


Ahora, veamos algunas propiedades fundamentales acerca del interior de un conjunto:


Algunas propiedades : Sean \((X,\tau)\) un espacio topológico y \(A,B\subseteq X\).

  1. \(A^°\) es abierto.
  2. Si \(A\subseteq B\) entonces \(A^°\subseteq B^°\).
  3. \(A\) es abierto \(\iff A=A^°\).
  4. \((A^°)^°=A^°\).
  5. \(A^°\) es el mayor abierto contenido en \(A\).
  6. \((A\cap B)^°=A^°\cap B^°\).


DEMOSTRACIÓN: Sea \(x\in A^°\) y sea \(U\) un abierto de la topología \(\tau\) tal que \(x\in U \subseteq A\). Se puede ver que para todo \(y\in U, y\neq x\) el conjunto \(A\) es un entorno de estos puntos, es decir, \(A\in O(y)\). O sea, acabamos de probar que todo elemento de \(U\) pertenece a \(A\) y que \(A\in O(y)\), por lo que por definición de interior , \(U\subseteq A^°\). Esto permite deducir que \(A^°=\bigcup\{U\in\tau: U\subseteq A\} \tag{1}\)

Con esto podemos demostrar las primeras cinco propiedades:


  1. \(A^°\) es abierto: Esto es evidente y sigue de ecuación (1). La unión finita (o infinita) de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
  2. Si \(A\subseteq B\) entonces \(A^°\subseteq B^°\): Sea \(U\in\tau\) tal que \(U\subseteq A\), entonces se sigue que \(U\subseteq B\). Por lo que \(U\subseteq B^°\). Así, si escogemos un elemento cualquiera de \(U\) veremos que es elemento del interior de \(B\) y a su vez ese elemento está dentro del interior de \(A\).
  3. \(A\) es abierto \(\iff A=A^°\) :
  4. \((A^°)^°=A^°\): Es evidente.
  5. \(A^°\) es el mayor abierto contenido en \(A\) : Es evidente, ya que por la ecuación (1) es la unión de todos los subconjuntos contenidos en \(A\).