Integration of p-forms over p-chains

Published November 23, 2020

Integración de p-formas sobre un p-simplex

Primero veamos el caso más sencillo de integrar una p-forma \(\omega\) sobre un p-simplex \(\sigma_p\). Esta integral se define como \begin{equation} \int_{\sigma_p}\omega := \int_{\sigma_p} a(x) dx^1dx^2\cdots dx^p \label{eq:1} \tag{1} \end{equation}

Donde la p-forma se define como \(\omega=a(x)dx^1\wedge\cdots\wedge dx^p\) y la integral del lado derecho es la integración usual euclídea. Veamos un ejemplo concreto, consideremos la siguiente 2-forma \(\omega=dx^1\wedge dx^2\) e integremosla sobre el 2-simplex: \begin{equation} \int_{\sigma_2}\omega = \int_0^1 dx\int_0^{1-x} dy = \frac{1}2 \end{equation}

Integración de p-formas sobre una p-cadena

Ahora veamos el caso un poco más complicado que el anterior. Ahora tenemos una p-cadena \(c_p\in C_p(M)\) definida en una variedad \(M\) y que es una combinación lineal de p-simplexes singulares \(s_{p,i}\).

Podríamos definir una forma de integrar esta p-forma sobre la p-cadena de manera análoga a lo que hicimos con un p-simplex en \((\ref{eq:1})\) \begin{equation} \int_{c_p}\omega:= \int_{c_p} a(x) dx^1\cdots dx^p=\sum_i a_i\int_{s_{p,i}}a(x)dx^1\cdots dx^p \end{equation} Pero, tenemos un problema porque los componentes de la p-forma no viven en el mismo espacio que los p-simplexes singulares (recordemos que estos son la imagen de p-simplexes por un mapeo \(f\)). Para llevar los elementos de la p-forma al espacio donde vive \(c_p\) usamos un concepto matemático llamado pullback. Entonces, definimos la integración de una p-forma sobre una p-cadena como \begin{equation} \int_{c_p}\omega := \sum_i a_i\int_{s_{r,i}}\omega = \sum_i a_i\int_{\sigma_{p,i}}f^*\omega \end{equation}