The field equations for a Gauge Theory
[physics Published February 05, 2021
\[\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \newcommand{\imp}{\implies} % Simbolo de implicacion \newcommand{\supr}[1]{\underset{#1}{\sup}} \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} % Negrita en modo matemático \newcommand{\lra}{\leftrightarrow} % Flecha derecha e izquierda \newcommand{\h}{\hat} % hat para operadores \newcommand{\red}[1]{\color{red}{#1}} \newcommand{\green}[1]{\color{green}{#1}} \newcommand{\blue}[1]{\color{blue}{#1}} \newcommand{\pr}{\partial} % Abreviacion para \partial \newcommand{\cd}{\cdot} % \cdot \newcommand{\cds}{\cdots} % \cdots \newcommand{\inceq}{\subseteq} % incluido e igual \newcommand{\vc}[1]{\vec{#1}} % vector \newcommand{\dg}{^\dagger} \newcommand{\conj}[1]{#1^*} % conjugado \newcommand{\pescalar}[2]{#1\cd #2} % Producto escalar \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} % Short version for \frac \newcommand{\dott}[1]{\overset{\cdot\cdot}{#1}} % Doble Punto encima (dt) \newcommand{\nab}{\nabla} % Shortcut for nabla %\newcommand{\eval}{\big\rvert} % Raya vertical para indicar evaluación %\newcommand{\deg}[1]{#1^{\circ}} % Grados \newcommand{\la}{\leftarrow} % Leftarrow \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} % Tipografia caligrafia \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} % Tipografia frakture (gótico) \newcommand{\tf}{\therefore } % Los tres puntitos en triangulo \newcommand{\sder}[2]{\frac{d #1}{d #2}} % Derivada simple de #1 respecto a #2 \newcommand{\der}[3]{\frac{d^{#1}#2}{d #3^{#1}}} % Derivada n-sima de #1 respecto a #2 \newcommand{\sparc}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} %Derivadas parciales \newcommand{\parc}[3]{\frac{\partial^{#1}#2}{\partial #3^{#1}}} %Derivada parcial n-esima respecto de #3 \newcommand{\m}[1]{\mathbb{#1}} % Hace una letra R --> \mathbb{R} \newcommand{\inc}{\subset} % Incluido \newcommand{\ndvec}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} %Crea un vector #2-dimensional con nombre #1 \newcommand{\ci}{\imath} % Unidad imaginaria \newcommand{\ptodo}{\forall} % Para todo simbolo \newcommand{\me}[1]{#1\m Z} % Multiplos enteros de #1: #1Z. \newcommand{\tq}{\mid} % Simbolo para tal que... \newcommand{\pp}[1]{#1^{\prime\prime}\mkern-1.2mu} %#1´´ \newcommand{\e}[1]{e^{#1}} % Exponencial de #1 \newcommand{\om}{\omega} % Shortcut para omega \newcommand{\Om}{\Omega} % Shortcut para Omega \newcommand{\lam}{\lambda} % Lambda \newcommand{\Lam}{\Lambda} % Lambda mayuscula \newcommand{\al}{\alpha} % alpha \newcommand{\be}{\beta} % beta \newcommand{\gm}{\gamma} % gamma \newcommand{\Gm}{\Gamma} % Gamma \newcommand{\del}{\delta} % Delta \newcommand{\sg}{\sigma} % Sigma \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\rel}{\sim} \newcommand{\uvec}[1]{\bm{\hat{\mathbf{#1}}}} % Vector unitario \newcommand{\vct}[1]{\vec{\mathbf{#1}}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\ex}{\exists} \newcommand{\bp}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\bb}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\bl}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\deld}[1]{\delta^{(3)}(#1)} % Delta de Dirac en 3d \newcommand{\ddrc}[2]{\delta^{(#1)}(#2)} % Delta de Dirac en Nd \newcommand{\lrpr}{\overset{\lra}{\pr}} % left right partial \newcommand{\slashd}{\kern-0.5em\raise0.22ex\hbox{/}} \newcommand{\barra}[1]{\cancel{#1}} \newcommand{\lan}{\langle} \newcommand{\ran}{\rangle}\]
Las ecuaciones de campo
A partir de ahora asumiremos unidades naturales \(c=1\). Las ecuaciones pueden ser escritas en términos de la derivada covariante y de conmutadores
\[[\nabla_\mu,[\nabla_\nu,\nabla_\sg]]+[\nabla_\nu,[\nabla_\sg,\nabla_\mu]]+[\nabla_\sg,[\nabla_\mu,\nabla_\nu]] =0 \ \ \ (\text{Identidad de Jacobi}) \label{eq:1} \tag{1}\] \[[\nabla_\mu,[\nabla_\mu,\nabla_\nu]] =0 \label{eq:2} \tag{2}\]En la ecuación \(\eqref{eq:2}\) se sobreentiende una suma en el índice \(\mu\). Esta segunda ecuación, conocida como ecuación de Yang-Mills, impone condiciones en el potencial. Por ejemplo, para \(G=U(1)\) la ecuación \(\eqref{eq:1}\) nos dice que podemos escribir al campo de gauge \(F_{\mu\nu}\) de la forma
\[F_{\mu\nu} = \pr_\mu A_\nu-\pr_\nu A_\mu \label{eq:3} \tag{3}\]Y la segunda ecuación no es más que las ecuaciones de Maxwell en el vacío \(\pr_\mu F_{\mu\nu}=0\). En el caso de tener \(G\) no abeliano, las expresiones se complican un poco pues la derivada covariante contiene explícitamente al potencial \(A_\mu\).
La ecuación de Yang-Mills \(\eqref{eq:2}\) puede ser derivada de una lagrangiano \(\mc L\) integrando sobre \(\m R^4\) una densidad lagrangiana que es una cantidad invariante ante el grupo y es cuadrática en el campo \(F_{\mu\nu}\). Tanto para \(G\) abeliano o no abeliano el lagrangiano se escribe como
\[\mc L = -\f 12\int_{\m R^4}d^4x \Tr(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}) \label{eq:4} \tag{4}\]Donde \(F^{\mu\nu}=g^{\al\mu}g^{\be\nu}F_{\al\be}\) usando la métrica \(g_{\mu\nu}\) usual de Minkowski. En caso de contar con grupos \(G\) más exóticos uno puede reemplazar la traza por la forma de Killing del álgebra correspondiente.
Recordemos como definimos una \(2\)-forma \(\al\):
\[\al = \f 12\sum_{\mu,\nu}\al_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu \label{eq:5} \tag{5}\]El operador dual estrella de Hodge
El operador estrella de Hodge está definido como un mapeo que mapea una \(p\)-forma en su dual \((n-p)\)-forma. Donde \(n\) es la dimensión del espacio en que viven las formas diferenciales.
\[*:\Om^p(M)\ra\Om^{n-p}(M) \label{eq:6} \tag{6}\]Este se define como el operador que satisface las siguientes propiedades
- \[\al\wedge *\be=\be\wedge *\al\]
- \[**\al=(-1)^{p(n-p)}\al\]
- \[*(c_1\al+c_2\be)=c_1(*\al)+c_2(*\be)\]
- \[\al\wedge *\al=0\iff \al=0\]
Este operador depende de la métrica Riemanniana \(g=(g)_{ij}\) definida en la variedad \(M\).
A efectos prácticos, ¿cómo uno calcula el dual de Hodge de una \(p\)-forma?. Con el fin de encontrar una forma intuitiva de calcular el dual de Hodge de una \(p\)-forma dada, empecemos definiendo la forma de volumen de una \(n\)-variedad \(M\).
\[\mu = \text{vol} = *(1) = \sqrt{\det g} \ dx^1\wedge\cds\wedge dx^n \label{eq:7} \tag{7}\]Por ejemplo, al forma de volumen en \(\m R^3\) es \(\mu=dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\). En Minkowski, la forma de volumen es \(\mu = -dt\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\).
Una forma que yo encontré para calcular el dual de Hodge de una \(p\)-forma es usando la primera propiedad del dual, esto es, que el wedge product de una forma con su dual es algo proporcional a la forma de volumen de la variedad.
\[\al\wedge *\be = \be\wedge *\al = \lan\al,\be\ran\mu \label{eq:8} \tag{8}\]Entonces, podemos pensar al dual de Hodge de un forma como “lo que le falta multiplicar a la forma para que el producto sea la forma de volumen”. Esto se aclarará con unos ejemplos. Consideremos \(M=\m R^3\). Ya vimos que la forma de volumen es \(\mu = dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\), entonces si queremos calcular el dual de Hodge de \(dx^1\) sería \(dx^2\wedge dx^3\)
\[*dx^1 = dx^2\wedge dx^3\]pues \(dx^1\wedge *dx^1=dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3=\mu\). Entonces, podemos calcular el dual de Hodge de todos los elementos de la base
\[*dx^1 = dx^2\wedge dx^3\\ *dx^2 = dx^3\wedge dx^1\\ *dx^3 = dx^1\wedge dx^2\]Entonces para una forma arbitraria, es fácil calcular su dual de Hodge. En esta parte del libro de Atiyah sólo estamos usando \(2\)-formas, por lo que, el dual de Hodge satisface que \(*^2=1\).
Definimos el producto interno de Hodge como
\[(\al,\be) = \int_{\m R^4} \al\wedge *\be = \int_{\m R^4} \lan\al,\be\ran\mu \label{eq:9} \tag{9}\]La curvatura o el campo de gauge \(F\) es una \(2\)-forma que toma valores en el Algebra de Lie \(L(G_x)\). Entonces, definimos la norma de la curvatura como
\[\vert\vert F\vert\vert^2 = (F,F) = -\int_{\m R^4} F\wedge *F \label{eq:10} \tag{10}\]que no es más que el Lagrangiano que definimos antes. Entonces, las ecuaciones \(\eqref{eq:1}\) y \(\eqref{eq:2}\) pueden ser escritas como
\[\nabla\wedge F=0\\ \label{eq:11} \tag{11} \nabla\wedge *F=0\]Una consecuencia de las ecuaciones anteriores es que la solución es posible sólo si
\[*F=F \ \ (\text{Auto-dualidad})\\ *F=-F \ \ (\text{Anti auto-dualidad})\]Etas son ecuaciones no lineales de primer orden para el potencial de gauge que implican las ecuaciones de segundo orden de Yang-Mills.
En este post introdujimos las ecuaciones de Yang- Mills y también pudimos expresarlas en términos del campo de gauge o curvatura \(F\). Mostramos que para que la primera ecuación de \(\eqref{eq:11}\) siguiera de la segunda eran necesarias las condiciones de auto dualidad y anti-auto dualidad. En el próximo post veremos condiciones asintóticas de los campos y su respectiva topología.